Hast du dir denn mal den Link von Eisenfee durchgelesen?
Also die Katzenminze im Garten hat über den Sommer auch immer mal trockene Triebe, vor allem unten herum, das ist m.E. ganz normal, wird abgeschnitten und gut ist.
Ob du allerdings mit deiner Katzenminze im Zimmer glücklich wirst, wage ich zu bezweifeln.
Das ist eine Freilandpflanze, die ihr Winterruhe braucht, um im Frühjahr neu auszutreiben.
Im Zimmer bei dem geringen Lichtangbot im Winter kommen da allenfalls schwache und anfällige Triebe.
So sehe ich das jedenfalls.