Da das hier die einzige Anlaufstelle im gesamten deutschsprachigen Internet mit diesem Symptom zu sein scheint, hab ich mich, als jemand der beides kennt, mal registriert, um meinen Senf dazu zu geben.
Tasächlich sind sich beide Phänomene sehr ähnlich und nur schwierig zu unterscheiden. Die Fotos hier sind aber keine Adventivwurzeln sondern tatsächlich eine Pilzinfektion.
Bei genauerer Untersuchung erkennt man dann auch Unterschiede. Adventivwurzeln sind kleiner und meistens grün, bevor sie relativ schnell braun werden. Außerdem wird man Adventivwurzeln nie auf Blättern finden und eine Pflanze mit Adventivwurzeln wächst ganz normal, ohne Nebenerscheinungen.
Bei der hier zu sehenden Pilzinfektion ist das aber anders. Die Wucherungen sind fast weiß, wesentlich ungleichmäßiger und insgesamt größer als die Erhebungen von Adventivwurzeln. Außerdem werden von der Pilzinfektion auch die Blätter nicht verschont. Die befallenen Blätter weisen die gleichen weißen Wucherungen auf, verkrümmen sich recht schnell und sterben nach kurzer Zeit ab. Dabei kann die gesamte Pflanze befallen sein, oder auch nur einzelne Triebe. Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal ist die Konsistenz. Adventivwurzeln sind etwas härter als der Pflanzenstängel, der Pilz dagegen ist fast schleimig und kann mit leichtem Reiben oberflächlich entfernt werden.
Befallene Pflanzen übertragen die Infektion auch auf ihre Nachbarn, weswegen sie möglichst schnell isoliert oder vernichtet werden sollten. Andere Pflanzen als Tomaten werden aber nicht befallen. Wirksame Gegenmittel sind herkömmliche Fungizide, wie das hier beschriebene Schwefelit gegen Mehltau. Das kann eigentlich in jedem Stadium verwendet werden, weil die Pflanze auch mit dem Pilz, wenn auch etwas verlangsamt, weiter wächst.
Lässt man den Pilz in Ruhe, sterben befallene Triebe recht schnell ab und der Pflanzenstamm "verholzt". Der ist dann dort, wo anfangs der Pilz gewohnt hat, dunkelbraun und extrem hart.
Braunfäule würde ich ausschließen. Meiner Meinung nach handelt sich eher um eine Art Mehltau, wobei der echte Mehltau deutlich andere Symptome zeigt.
Die Pflanze trägt am Ende auch Früchte, die sich nur in der Anzahl stark von Früchten gesunder Pflanzen unterscheiden. Zum Geschmack oder zur Gesundheitsschädlichkeit kann ich aber nichts sagen. Da hab ich mich nicht getraut.