Das Bild ist leider etwas klein, um eine genauere Diagnose zu stellen.

Typisch für dieses Schadbild sind Spinnmilben oder, besonders bei Rosmarin, die Kräuter-Blattzikade. Die befallenen Triebe würde ich natürlich nicht mehr zum Verzehr verwenden und die Pflanze ein wenig zurückschneiden. Das Abgeschnittene in den Hausmüll entsorgen. Bei der Kräuterblattzikade kann eine Schmierseifen-Spiritus-Lösung zum Spritzen helfen. Diese Lösung ist allerdings bei Spinnmilben nicht sehr effizient. Auf jeden Fall gehört der Rosmarin nach draußen, falls er das noch nicht ist.

Die Pflanze mit Brauseschlauch immer wieder abspritzen hilft den Befall etwas einzudämmen. Dabei aber darauf achten, daß so gespritzt wird, daß die Erde nicht patschnaß wird.

Spinnmilben lassen sich, wie geschrieben, nicht gut mit Schmierseifen-Spiritus-Lösung behandeln. Es ist allerdings die einzige Möglichkeit, wenn Du den Rosmarin noch verwenden möchtest.
Du kannst es natürlich versuchen. Die Prozedur muß aber so oft durchgeführt werden, bis weder Schäden an den neuen Trieben noch Tiere vorhanden sind. Zwischendurch die Pflanze auch immer wieder mit der Brause abduschen. Das mögen die Spinnmilben nicht.

Wär's meine Pflanze und wär sie noch nicht ein großer Strauch, würde ich sie entsorgen und mir eine neue kaufen.
Wenn es sich um einen bereits älteren, größeren Strauch handelt, kann Rückschnitt helfen. Die Angriffsfläche für die Biester ist dann kleiner und für die Behandlung ist die Pflanze überschaubarer.