Sind das ältere Blätter, die braun werden, oder junge?
Der Gesamteindruck der Pflanze ist meiner Meinung doch gar nicht so schlecht, vielleicht sind die braunen Blätter noch Nachwirkungen des unangepassten Gießverhaltens vor der Umstellung. Ein paar Stecklinge kannst Du sicherlich nehmen, das schadet der Pflanze ja nicht, aber den Rest kannst Du auch erst mal so lassen wie er ist, vorsichtig gießen und im Frühjahr ein bissl düngen. Und wenns besser wird, ist die Pflanze übern Berg.
Stecklinge sind bei der Monstera Abschnitte vom Trieb, an denen mindestens ein Blatt dran ist. Das heißt, Du schneidest das Ende eines Triebes unter etwa der drittletzten Blattachsel ab und stellst es in ein Wasserglas. Gegenüber der Stelle, wo das Blatt rauskommt, kommen dann die Wurzeln raus. Diese Stelle sollte also auch mit Wasser bedeckt sein.
Schon vorhandene Luftwurzeln können sich auch in Erdwurzeln umwandeln, wenn welche vorhanden sind, kannst Du den Trieb eigentlich gleich eintopfen (und Luftwurzeln in die Erde stecken).
Hier ist ein guter Thread, wo Du nachlesen kannst wie man es macht - und wie man es nicht macht:
forum/monstera-vermehren-t35746.html