Braune Blattspitzen kommen von trockener Luft sprich Heizungsluft. Du kannst die hin und wieder mal besprühen, vielleicht hilft das.
Bei meiner Efeutute war es die direkt hochsteigende Heizungsluft, die sie nicht mochte. Die steht aber auch auf der Fensterbank über der Heizung. Da hab ich dann einfach ne Klarsichtfolie drunter gelegt, so dass die Heizungsluft nicht mehr an die Blätter kommen kann. Das hat ihr schon gereicht. Vielleicht kannst Du Deine Dracaena auch irgendwie davor schützen...

Die Fliegen sind übrigens Trauermücken und ja, die holt man sich gerne mal mit Erde ins Haus.
Der Gelbsticker alleine könnte zu wenig sein. Wenn das Überhand nimmt, kannst Du Dir Neudomück besorgen und damit gießen. Das soll ganz gut helfen.

Die Triebe am Stamm kannst Du abschneiden oder dran lassen - wie Du magst. Sie treibt dort halt neu aus und wenn Du die wachsen lässt, wird sie irgendwann buschiger. Die wachsen zur gleichen Größe heran, wie die jetzigen Triebe sind. Kannst Du Dir überlegen, ob die Pflanze dann gut weiterwachsen kann und gut aussieht. Wenn nicht, schneid sie ab.

Ach ja, ganz vergessen: Ganz herzlich willkommen hier im Forum!

Erstmal danke für die Antworten.

Wir haben die Pflanze jetzt weiter weg von der Heizung gestellt und werden Sie demnächst auch mal mit Wasser einsprühen. Ich habe im Internet gelesen, dass man mit den Trieben auch wieder eine ganz neue Pflanze züchten kann. Wie macht man das am besten?
Und wegen den braunen Stellen: Kann man diese von den Blättern einfach abschneiden?

Du kannst die braunen Stellen nur dann rausschneiden, wenn sie komplett trocken sind und von alleine (oder bei leichter Berührung) schon reißen.
Und dann darfst Du auch nur so weit schneiden, dass immer ein kleiner brauner Rand stehen bleibt. Schneidest Du ins Grün, wird das Blatt von dort aus wieder eintrocknen.

...um nochmal darauf zurückzukommen (auch wenn es schon etwas her ist): Ich hab da mal Bilder von den aktuellen Trieben am Stamm. Wie genau soll ich die ab machen und eine neue Pflanze daraus züchten? Bin in dem Fall wirklich ein DAU